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What is Slidev?

Slidev is a slides maker and presenter designed for developers, consist of the following features

• 📝 Text-based - focus on the content with Markdown, and then style them later
• 🎨 Themable - theme can be shared and used with npm packages
• 🧑‍💻 Developer Friendly - code highlighting, live coding with autocompletion
• 🤹 Interactive - embedding Vue components to enhance your expressions
• 🎥 Recording - built-in recording and camera view
• 📤 Portable - export into PDF, PNGs, or even a hostable SPA
• 🛠 Hackable - anything possible on a webpage

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最优控制

随着技术的发展和生产的需要, 对生产过程的要求也在逐渐提高. 所以除了要求闭环系统稳定、安全地运行外, 还会提出一些附加的要求, 譬如过渡时间尽量短、运动过程中消耗的能量尽量少、生产成本尽量低而收益尽量大等. 这些附加的要求也是表示系统性能的指标, 它们可以用某种比之前的误差积分指标更复杂的函数形式来描述.

最优控制研究的主要问题是:根据已建立的被控对象的数学模型, 选择一个容许的控制律, 使得被控对象按预定要求运行, 并使给定的某一性能指标达到极小值(或极大值).

从数学观点来看, 最优控制研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函极值问题, 属于变分学的范畴。然而, 经典变分理论只能解决控制无约束, 即容许控制属于开集的一类, 实际所遇到的控制多数是有约束的. 20实际50年代出现了现代变分理论, 其中最常用的方法是极小值(极大值)原理和动态规划.

最优控制问题

最优控制问题的数学描述

最优控制问题应包含以下几个方面的内容:

• 被控系统的数学模型 一个集总参数的系统可以用状态方程

$$\dot{ {\bm x}} = {\bm f} [{\bm x}(t), {\bm u}(t), t]$$

表示, 对于线性定常系统可以表示为:

$$\dot{ {\bm x}} (t) = {\bm A} {\bm x}(t) + {\bm B} {\bm u} (t).$$

这样的方程表示在控制 ${\bm u}(t)$ 的作用下, 系统从一个状态转移到另一个状态, 或者说从 $n$ 维状态空间中的一个点转移到另一个点.

最优控制问题的数学描述

• 边界条件和目标集 最优控制中的初始时刻 $t_0$ 和初始状态(初态) ${\bm x}(t_0)$ 通常是已知的, 而末端时刻 $t_f$ 和末端状态(末态) ${\bm x}(t_f)$ 则不一定. 末态即控制过程要达到的目标, 这个目标可能是一个给定的固定点, 也可能是满足条件的一个区域. 满足末态约束条件的状态集合被称为目标集, 计为 $M$ . 当目标集为一个点时, 控制问题被称为固定终端问题.
  末态范围的约束可以用末态约束方程或不等式描述:

$${\bm g}[{\bm x}(t_f), t_f] = 0 \quad or \quad {\bm h}[{\bm x}(t_f), t_f] \leq 0$$

例题

求泛函 $J=\int^1_0 x^2 (t) {\rm d}t$ 的变分.

解

$$\begin{aligned} \Delta J &= \int ^1 _0 [x+ \delta x]^2 {\rm d}t - \int ^1 _0 x^2 {\rm d}t \\ &= \int ^1 _0 [x^2+ 2 x \delta x + (\delta x)^2] {\rm d}t - \int ^1 _0 x^2 {\rm d}t \\ &= \int ^1 _0 2 x \delta x {\rm d}t - \int ^1 _0 (\delta x)^2 {\rm d}t. \\ \delta J &= \int^1 _0 2 x(t) \delta x {\rm d} t. \end{aligned}$$